О формуле Блэка-Шоулса

posted by admin @ 17:27 ПП
17 Сентябрь 2010

    Давным давно движимое страхом перед будущим человечество придумало механизм страхования. Страхование–это когда ты платишь некоторую сумму (премию), а взамен, при наступлении некоторых событий в будущем, тебе выплачивают другую сумму (компенсацию). Обычно компенсация много больше премии, но это необязательно. Частным случаем такого страхования является опцион–страховка в мире ценных бумаг. Опцион (колл)–это договор между страхователем (покупателем опциона) и страховщиком (продавцом опциона), заключающийся в том, что у покупателя есть право, но не обязанность, купить у продавца оговоренное при договоре количество акций по оговоренной при договоре цене (страйк) в течение оговоренного при договоре периода. Как нетрудно понять, по истечении периода покупатель воспользуется своим правом, только если цена акции в момент окончания периода будет больше страйка. Эта ситуация может быть изображена на плоскости “Цена акции–Финансовый результат стратегии”, например, для покупателя опциона колл картинка (стратегия) будет такой:

 311.JPG

Рисунок 1 

Здесь K–цена страйк опциона, P–премия, S–цена акции в момент покупки опциона. Поскольку эта линия не является прямой, то опционы называют нелинейными инструментами, в отличие от акций и фьючерсов, для которых стратегии–просто прямые линии.

        Все, вроде, понятно, но остается один вопрос–сколько должен стоить опцион. Ясно, что ноль он стоить не может–его просто так никто не продаст. Очень много он тоже стоить не может–его никто не купит. Вопрос: сколько? Однозначного ответа на этот вопрос дать нельзя, как нельзя дать ответ на вопрос, сколько должна стоить та или иная акция. Однако есть хороший и понятный подход к определению цены опциона. Он заключен в следующем: справедливая цена опциона будет такой, чтобы и продавец и покупатель в среднем получали ноль по окончании периода действия опциона. Именно на таком рассуждении и основан один из лучших результатов финансовой математики–формула Блэка-Шоулза. Несмотря на ее сложный вид, она получается очень просто. Сейчас я попытаюсь немного подробнее пояснить механизм ее получения.

       Итак, мы нарисовали стратегию (см. рис. 1), но она определена не полностью–картинка может ездить вверх/вниз из-за неопределенной премии. Премию нужно выбрать так, чтобы покупатель в среднем получил ноль. Пусть вероятность цене принять значение x по окончании периода равна r(x), а линия стратегии (ломаная на рисунке 1) описывается уравнением y=f(x). Тогда средняя прибыль покупателя равна сумме (по всем x) от f(x), умноженной на r(x). Поскольку x может меняться непрерывно, то это есть интеграл по всем ценам от f(x)*r(x). И равенство нулю этого интеграла даст нам справедливую премию опциона. Все это изображено на рис. 2.

 312.JPG

Рисунок 2 

Красная линия–стратегия покупки опциона колл, синяя–распределение цен. Зеленая–произведение красной на синюю. Равенство нулю интеграла от этого произведения означает, что площадь под правой (положительной) частью зеленой кривой равна площади над левой (отрицательной) частью этой кривой.

      Для количественного расчета нужно знать r(x). Блэк и Шоулз сделали предположение о случайном нормальном блуждании логарифма цены. Я не буду здесь обсуждать применимость такого приближения, скажу лишь, что в качестве нулевого приближения это вполне оправданно. В этом случае сама цена описывается логнормальным законом распределения. Таким образом, известна и стратегия f(x) и распределение цены акции в конце периода r(x). Беря интеграл от произведения (в общем, несложный), можно получить простейшее уравнение на премию, из которого и получается формула Блэка-Шоулса C=SN(d1)-KN(d2).

       Выводы:

1) Формула Блэка-Шоулса–это очень красивый и полезный результат, имеющий ясный и понятный физический смысл–безвыигрышность (и беспроигрышность) стратегии.

2) Никакие хитрые опционные стратегии не дают статистического преимущества (по крайней мере, в рамках теории Блэка-Шоулса).

17 Responses to “О формуле Блэка-Шоулса”

  1. Vladimir Says:

    Анатолий,

    Спасибо за статью. Я тут “много думал”.
    А вот такая сравнительно простая идея тестировать эти опции.
    Допустим, мы хотим продать дельта нейтральный стренгл со страйками С1 и С2 вокруг цены БА Ц1.

    Мы открываем - в тестере - короткую и длинную позиции фьючем по ценам С1 и С2. Разницы цен Р1 = С1 - Ц1 и Р2 = С2 - Ц1. И закрываем их скажем через месяц, когда цена БА Ц2 по ценам Ц2 + Р1 и Ц2 + Р2. Смотрим на финансовый результат.

    Такой подход имеет смысл или это полный абсурд?

  2. Vladimir Says:

    Вот, еще в качестве Р1 и Р2 можно брать историческую волатильность - чтобы было две пары Р - в начале и в конце периода.

  3. admin Says:

    Я с опционами плотно не работал, поэтому хочу вначале договориться о терминологии и обозначениях. Дельта-нейтральный стренгл–это покупка опциона пут и покупка опциона колл с разными страйками. Кроме этого, для обеспечения дельта-нейтральности позиции мы должны взять опционы колл с весом 1-N(d1), а опционы пут с весом N(d1) (в рамках теории Бл-Ш). Это так?

    Вот дальше я не очень понял. Насколько я понял, ты хочешь предложить какую-то эквивалентную проданному стренглу позицию, но составленную из базового актива. Цель этого я понял–у нас есть хорошие тестеры для фьючей. А вот как именно это делается–не понял. Ведь есть общий принцип–из прямых нельзя составить ломаную, то есть опцион нельзя заменить комбинацией фьючей (а вот наоборот–можно. Это так называемый синтетический фьючерс).

    Не мог бы ты поподробнее описать вот этот абзац:
    “Мы открываем - в тестере - короткую и длинную позиции фьючем по ценам С1 и С2. Разницы цен Р1 = С1 - Ц1 и Р2 = С2 - Ц1. И закрываем их скажем через месяц, когда цена БА Ц2 по ценам Ц2 + Р1 и Ц2 + Р2. Смотрим на финансовый результат.”

  4. Vladimir Says:

    Речь идет о коротком стренгле.
    Все моделирование сводится к следующему.
    Допустим у нас есть историческая волатильность (ХВ).

    Можем ли мы определить момент, который может предсказать падение ХВ в будущем: с ХВ1 до ХВ2.

    Теперь, если мы можем предсказать что ХВ будет падать с некотором МО, продажа дельта нейтральных опционов начинает иметь статистическое преимущество, неважно какие опционы мы продаем, с оговоркой что ИВ будет вести себя так же как ХВ.

    В принципе, если есть какая то система с МО касательно ХВ, не составит большого труда поменять модель волатильности с ХВ на ИВ, и проверить гипотезу о МО уже относительно ИВ. Ну или сразу использовать не ХВ, а ИВ. Исторические значения ИВ однако не всегда есть для активов.

    Цель всего упражнения не найти какой то грааль для опционов, а просто захеджировать моментум портфель.

    Еще раз, более подробное описание.
    ———————–
    Допустим, мы хотим продать дельта нейтральный стренгл со вокруг цены БА Ц1.
    Допустим, краткосрочная historical volatility в начальный момент (ХВ) ХВ1. ИВ пока за скобками.

    Выбираем размах страйков на основе ХВ, например Д1 = 2*ХВ1.
    В тестере - открываем гипотетические короткую и длинную позиции в фьючерсе по ценам Ц1 + Д1 и Ц1 - Д1. И закрываем их скажем через две недели, когда цена БА Ц2 по ценам Ц2 + Д2 и Ц2 - Д2, где Д2 = 2 * ХВ2. Смотрим на финансовый результат.

    Понятно, что реально фьючерс по таким ценам не торгуется, но тестер можно легко заставить верить что по этим ценам были сделки, а пнл он уже сможет рассчитать.

    В реальности мы бы открыли короткий стренгл в районе Ц1 + Д1 и Ц1 - Д1, а по окончании периода как то (как именно, я еще не знаю) захеджировали бы его.

  5. Vladimir Says:

    Позиция не будет эквивалентна. Это просто методика, которая пришла в голову, и я что то начинаю сомневаться что она рабочая, но хотел бы узнать твое мнение. :)

  6. admin Says:

    Ну, давай мыслить последовательно. Рассмотрим две ситуации–продажа стренгла и работа с фьючами.
    1) Ситуация №1: Продажа стренгла. Мы продаем опцион пут со страйком Ц1-Д1, и продаем опцион колл со страйком Ц1+Д1, где Ц1–текущая цена базового фьюча, Д1=2*В1, В1–волатильность в настоящий момент (подразумеваемая или историческая, как быть с улыбкой–это все уже следующие вопросы). При этом мы получаем на руки премию ПК1 (премия по коллу) и ПП1 (премия по путу), ПК1=Ц1*Ф(д11)-(Ц1+Д1)*Ф(д12), ПП1=(Ц1-Д1)*Ф(-д12)-Ц1*Ф(д11). Далее мы откупаем опционы в некоторый момент, когда цена фьюча будет Ц2, а волатильность–В2. Заплатим за опционы мы также по Бл-Ш: ПК2 и ПП2. Финансовым результатом ситуации №1 будет: ФР1=ПК1+ПП1-ПК2-ПП2. Это сложная нетривиальная нелинейная связь между ценами и волатильностями.
    2) Ситуация №2: Работа с фьючами
    Покупаем фьюч по Ц1-Д1, продаем по Ц1+Д1 (гипотетически). Затем продаем по Ц2-Д2 и покупаем по Ц2+Д2 (гипотетически). Как нетрудно видеть, финансовым результатом такой манипуляции будет ФР2=2*(Д1-Д2)–простейшая формула.

    Выводы: видно, что ситуации 1 и 2 неэквивалентны. Собственно, ничего другого ожидать и не приходилось–как я уже сказал, из линейных фьючей не слепишь нелинейный опцион. Однако, некоторая связь все же есть. Если подумать, то если предположить, что в ситуации 1 мы оцениваем опционные премии как если бы время до экспирации было бы ноль, то ФР1 равнялся бы ФР2. Действительно, в условиях нулевого времени до экспирации из формулы Бл-Ш легко получается, что премия по опциону равна просто (ЦБА-страйк) для колла и (страйк-ЦБА) для пута (если они в деньгах). Это значит, что в ситуации 1 мы получим 2*Д1 при продаже стренгла и потратим 2*Д2 при его откупе, то есть ФР1=ФР2. Вот как-то так.

    Общий взгляд. При помощи твоей идеи мы меняем реальную ситуацию с опционами на нереальную с фьючами. Вообще, это интересный подход. Но его надо улучшать (если это вообще возможно). Первые недостатки, которые сразу приходят в голову:
    1) Для тестирования придется делать ацкие свечи с большими хвостами–чтобы купить и продать фьюч по ценам страйк плюс минус волатильность.
    2) Поскольку ты одновременно купишь и продашь фьюч, то картина эквити в ситуации 2 будет унылой и неинформативной–это будут просто три горизонтальных линии.

  7. Sergiovy Says:

    Здравствуйте!
    Я пока далек от “сложных” - для меня опц. стратегий. Но наблюдаю за опц давно (в основном на фьючерс по индексу ртс). Пока есть простое желание осуществить с какой то вероятностью покупку голого кола или голого пута ( по ситуации)
    Что останавливает, последний пример:
    Совершенно непонятно, почему перед экспирацией (15 сент) когда были хорошие движения по индексу и фьючу, цена на опционы была мертва?
    Примерно понятно, что есть всякие греки, формулы блэка и шолдера, теория итд., но:
    Почему тупо не покупали живые люди? Что им мешало? неужели просто понимание того, что цена “должна” быть такой?
    До этого момента (перед экспирацией) цена опциона летала неслабо и при гораздо меньших движениях фьюча….
    Ведь кто то же двигает цену? Трудно предположить, что себе в убыток.
    Если например предположить, что за 15 дней до эксп., просто исчезнут все покупатели и продавцы, то цена ведь останется последней, и тогда формула и греки в том числе накроются?
    В общем, чего то у меня тут не сходится…
    Если можно, разъясните плз.
    P.S. Тупо вывел в квике график опц, и фьюча за весь период…. на один экран.
    Если это не верх нахальства:
    Этих страйков миллион, а движуха бывает на некоторых, как это узнать- на каких?
    (причем это похоже не зависит от числа откр. позиций…)
    Глобально задача простая - есть понимание рынка (мат ожидание положительно)
    Не могу пока применить это на практике простой покупки кола или пута, в зависимости от ожидания)
    Или непонятно какой страйк покупать, или опцион иногда стоит, хотя рынок идет как надо…

  8. admin Says:

    Вам надо учиться. И я не уверен, что опционам, возможно начать следует с самых основ–обучения работе с базовыми активами.

    Понимаете, я не хочу Вас оскорбить или обидеть, но, на мой взгляд, фразы “Глобально задача простая - есть понимание рынка (мат ожидание положительно)”, “Примерно понятно, что есть всякие греки, формулы блэка и шолдера, теория итд., но:Почему тупо не покупали живые люди? Что им мешало? неужели просто понимание того, что цена “должна” быть такой?”" свидетельствуют о не очень хорошем владении не только опционной темой, но и вообще темой работы на рынке. Успешная работа на рынке–это не только понимание рынка, но и отточенность знаний, умение применять эти знания на практике. Мне кажется, что Ваши знания нуждаются в серьезном пересмотре и углублении.

  9. Sergiovy Says:

    Ок!
    Знаний всегда мало, это точно.
    С опционами особенно.
    На рынке достаточно давно, пока закрепляю “ремесленные навыки”
    дисциплину, в общем простые вещи. моего понимания и доходности мне хватает.
    С опционами - нет ясности в основах, хотя прочитал неск книг, купил пару раз опционов, продал их в 3 раза дороже, просто по графику, и на основе понимания ситуации на рынке.
    хотелось бы освоить вот эту простую стратегию. На всех сайтах, в основном о кондорах, стренглах итд. а о физическом смысле - почему опцион не подчиняется закону спроса предложения ( перед экспирацией) , а подчиняется каким то формулам, и что будет, если народ ( живые люди ) прекратит сделки по опционам перед экспирацией..
    Неужели цена опциона все равно будет в соотв с формулой (+/-) понятно?
    Кто же ее туда направит?
    В общем, хотелось таким образом подучиться.
    2 книги прочел до момента составления сложных позиций. дальше не читал, т.к. просто не понимаю основ, а их не могу найти….(подскажите, где можно получить объяснения?
    Соответственно в торговлю не лезу, так, экспериментирую на нес шт.

    По последнему вопросу (успешная работа на рынке…)
    Чего то мой опыт подсказывает, что не только знания нужны. а еще и терпение(выдержка), дисциплина, умение правильно поставить цели и стопы.
    Вот над этим работаю - и именно это приносит результаты. Отрываюсь на демо:), одна сделка вреале (типа плановая), и 3 шт на демо - наигралсяч - снова в реал.
    пока так получается двигаться постепенно. до этого немыслимые доходы (без особых плечей ( один фьюч ес мини на 5000 долл) сменялись такими же феерическими сливами.
    знаний специально не углублял, просто налег на дисциплину - и сдвинулось.
    Спасибо за ответ.

  10. admin Says:

    Опцион–это производная ценная бумага. Поэтому ценообразование на него обусловлено не только спросом/предложением на сам опцион, но и ценой базового актива, а также временем до экспирации. Ситуация здесь аналогична ситуации с фьючерсами. “Живые люди” в курсе всего этого, и именно живые люди и определяют цену опциона (в стакане, как и для любого биржевого товара), а не формулы. Формулы–это лишь подспорье и не более.

    Дисциплина и терпение–это важные вещи. Именно твердые знания помогают укрепить дисциплину.

  11. James Says:

    The honesty of your psotnig shines through

  12. rblqrdykpg Says:

    VVDZBA uldxvwopmhrm

  13. payday loan Says:

    hrtgwrv payday loan

  14. payday loans Says:

    cnctnqt payday loans

Leave a Reply


ИСПОЛЬЗОВАНИЕ CAPTCHA: CAPTCHA ИНОГДА ГЛЮЧИТ. ПОЭТОМУ ПОСЛЕ НАБОРА КОММЕНТА (ОСОБЕННО ДЛИННОГО) КРАЙНЕ РЕКОМЕНДУЮ СКОПИРОВАТЬ ЕГО В ТЕКСТОВЫЙ РЕДАКТОР, А УЖЕ ПОТОМ ВВОДИТЬ КОД ДЛЯ CAPTCHA.

*

Anti-Spam Image

счетчик посещений